2.7 为什么 0.1 + 0.2 不等于 0.3？

为什么负数要用补码表示？

接不知道你有没有想过，为什么计算机要用补码的方式来表示负数？在回答这个问题前，我们假设不用补码的方式来表示负数，而只是把最高位的符号标志位变为 1 表示负数，如下图过程：

如果采用这种方式来表示负数的二进制的话，试想一下 -2 + 1 的运算过程，如下图：

按道理，-2 + 1 = -1，但是上面的运算过程中得到结果却是 -3，所可以发现，这种负数的表示方式是不能用常规的加法来计算了，就需要特殊处理，要先判断数字是否为负数，如果是负数就要把加法操作变成减法操作才可以得到正确对结果。

因此如果负数不是使用补码的方式表示，则在做基本对加减法运算的时候，还需要多一步操作来判断是否为负数，如果为负数，还得把加法反转成减法，或者把减法反转成加法，这就非常不好了，毕竟加减法运算在计算机里是很常使用的，所以为了性能考虑，应该要尽量简化这个运算过程。

而用了补码的表示方式，对于负数的加减法操作，实际上是和正数加减法操作一样的。

十进制整数转二进制使用的是「除 2 取余法」。

十进制小数使用的是「乘 2 取整法」。将十进制中的小数部分乘以 2 作为二进制的一位，然后继续取小数部分乘以 2 作为下一位，直到不存在小数为止。

如果我们把 0.1 转换成二进制，过程如下：

可以发现，0.1 的二进制表示是无限循环的。

由于计算机的资源是有限的，所以是没办法用二进制精确的表示 0.1，只能用「近似值」来表示，就是在有限的精度情况下，最大化接近 0.1 的二进制数，于是就会造成精度缺失的情况。

对于二进制小数转十进制时，需要注意一点，小数点后面的指数幂是负数。

比如，二进制 0.1 转成十进制就是 2^(-1)，也就是十进制 0.5，二进制 0.01 转成十进制就是 2^-2，也就是十进制 0.25，以此类推。

计算机存储小数的采用的是浮点数，名字里的「浮点」表示小数点是可以浮动的。

比如 1000.101 这个二进制数，可以表示成 1.000101 x 2^3，类似于数学上的科学记数法。

现在绝大多数计算机使用的浮点数，一般采用的是 IEEE 制定的国际标准，这种标准形式如下图：

这三个重要部分的意义如下：

符号位：表示数字是正数还是负数，为 0 表示正数，为 1 表示负数；
指数位：指定了小数点在数据中的位置，指数可以是负数，也可以是正数，指数位的长度越长则数值的表达范围就越大；
尾数位：小数点右侧的数字，也就是小数部分，比如二进制 1.0011 x 2^(-2)，尾数部分就是 0011，而且尾数的长度决定了这个数的精度，因此如果要表示精度更高的小数，则就要提高尾数位的长度；
double 的尾数部分是 52 位，float 的尾数部分是 23 位，由于同时都带有一个固定隐含位（前置的1），所以 double 有 53 个二进制有效位，float 有 24 个二进制有效位，所以所以它们的精度在十进制中分别是 log10(2^53) 约等于 15.95 和 log10(2^24) 约等于 7.22 位，因此 double 的有效数字是 15~16 位，float 的有效数字是 7~8 位，这些有效位是包含整数部分和小数部分；
double 的指数部分是 11 位，而 float 的指数位是 8 位，意味着 double 相比 float 能表示更大的数值范围；

IEEE 标准规定，二进制浮点数的小数点左侧只能有 1 位，并且还只能是 1，既然这一位永远都是 1，那就可以不用存起来了。

于是就让 23 位尾数只存储小数部分，然后在计算时会自动把这个 1 加上，这样就可以节约 1 位的空间，尾数就能多存一位小数，相应的精度就更高了一点。

这主要是因为有的小数无法可以用「完整」的二进制来表示，所以计算机里只能采用近似数的方式来保存，那两个近似数相加，得到的必然也是一个近似数。